新疆大学学报(自然科学版)(中英文)

1982, (03) 49-64

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关于“闭图象定理”与“开映照定理”
ON THE "CLOSED GRAPH AND OPEN MAPPING" THEOREMS

王彦亭;

摘要(Abstract):

本文作了以下一些工作: (1) 设(E,ξ)与(F,η)是扑拓性线间空,u是E中原点的一个邻域基,t:E→F是线性照映,J.L.Kelley曾经在假定F分离的情形下,论证了t的图象G(t)=={(x,tx)|x∈E)是F×F中闭集的壳要条件是={0}。作者则在无须假定F分离的情形下论证了同一结果。并且指出F的分离性不过是G(t)闭的当然推论,同时,由此推广了T.Husain的如下两个引理: 引理1.设E是可距离化的拓扑线性空间,{U·|n∈N)是E中原点的可数邻域基,F是分离的扑拓性线空间。若f:F→F是线性,连续,几乎开映照,则有={0}。引理2.设F是分离的扑拓性线空间,E是可距离化的扑拓线性空间,{V_n|n∈N}是E中原点的邻域基。若f:F→E是线性,几乎连续,闭图象,1—1映照,则有={0}。 (2) 由T.Husain介绍的一个Bauach的开映照定理是: 若E是可距离化的完备的拓扑线性空间,F是分离的拓扑线性空间,f:E→F是线性,映上,闭图象映照,若f几乎开,则f是开映照。作者则将它作了如下改进: 设E是可半距离化的完备的拓扑线性空间,F是拓扑线性空间,f:E→F是线性,闭图象映照,若f几乎开,则f是开映照。 (3) 作者论证了如下一个关于“连续开线性映照”的定理: 设E,F,G是拓扑线性空间,x:E→F是连续,开的线性映照,h:F→G是线性映照,t=hoπ,则有: (a) t连续h连续, (b) t开h开, (c) t几乎开h几乎开, (b) G(t)闭G(h)闭, (e) 着t几乎连续,则h几乎连续。从而推广了前人的一些结果。 (4) 作者给出了一个Pfak闭图象定理的新证明,此证明完全不同于Pfak的最初证明,不仅大大简于原证明,而且在方法上比较新颍。同时,作者还给出几个略有变化的关于Br-完备空间的等价定义。 (5) 作者简化了V.Pfak对下面一个定理的证明。若E是Br-完备空间,E_0是E的闭子空间,则E_0在相对拓扑下是Br-完备的。 (6) 作者给出了几个略有变化的关于Br-完备空间的等价定义。 (7) 作者简化民T.Husain对下面一个定理的证明。若E是B-完备空间,F是分离的凸空间,t:E→F是映上,线性,连续,几乎开映照,则F是B-完备的。 (8) 作者指出了T.Husain一篇论文中的一个失误,他误把目前还未能解决的一个难题,不加证明地当作已有结果,从而推出了一些不能认可的命题。

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Abstract:

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基金项目(Foundation):

作者(Authors): 王彦亭;

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